Funktionen allgemein

Was sind Funktionen?

Funktionen sind eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Größenbereichen.

Funktionen werden in der Mathematik auch als Abbildungen bezeichnet.

Jedem Element aus dem ersten Größenbereich (Definitionsmenge) wird genau ein Element aus dem zweiten Größenbereich (Wertebereich) zugeordnet.

Vereinfacht kannst du dir eine Funktion wie eine Input-Output-Maschine vorstellen:

Sie nimmt etwas (Zahl) als Eingabe entgegen und gibt daraufhin etwas (andere Zahl) als Ausgabe aus. Das geschieht nach einer eindeutigen Vorschrift.

Gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben.

Beispiel 1

quadrieren:

Input -------> Output

  2                    4

  5                  25

  -7                 49

usw.

f(x) ------> x*x

f(2) ------> 2*2

f(5) ------> 5*5

f(-7) ------> -7*(-7)

Beispiel 2

verdoppeln:

Input --------> Output

   1                    2

   3                    6

   5                  10

usw.

Eine Funktion kann mit einem Zuordnungspfeil beschrieben werden:

f: x ----> 2*x

   1 ----> 2*1

   3 ----> 2*3

   5 ----> 2*5

usw.

oder auch so:

f(1) = 2

f(3) = 6

f(5) = 10

usw.

Eine Funktion kann mit einer Funktionsgleichung beschrieben werden:

f(x) = 3*x + 2 oder y = 3*x + 2

f(x) = -2*x - 1 oder y = -2*x - 1

f(x) = 0,5*x + 3 oder y = 0,5*x + 3

Funktionen werden u. a. mit Wertetabellen oder Zeichnungen (Graphen) im Koordinatensystem dargestellt.

Und hier noch mal richtig mathematisch:

Eine Funktion (Abbildung) f : A -> B (von der Menge A in die Menge B) ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Menge A genau ein Element der Menge B zuordnet. Dieses zugeordnete Element der Menge B wird als f(x) bezeichnet. Die Menge A heißt Definitionsbereich, die Menge B heißt Wertebereich.

Lineare Funktionen

Funktionen der Form y = m x

Alle Funktionen der Form y = m x heißen proportionale Funktionen.

Die Graphen der Funktionen gehen durch den Nullpunkt (Ursprung) des Koordinatensystems.

Der Steigungsfaktor m gibt die Steigung des Graphen an:

Man unterscheidet 4 Bereiche:

m > 0: positive Steigung

m < -0: negative Steigung

m = 0: Graph verläuft parallel zur x-Achse

m = 1: Steigung 45°

Funktionen der Form y = x + b

Alle Graphen von Funktionen der Form y = x + b schneiden die y-Achse im Punkt (0|b).

Die Graphen verlaufen alle parallel. Der Steigungswinkel beträgt 45°.

Funktionen der Form y = m x + b

Funktionen der Form y = m x + b heißen lineare Funktionen.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Der Graph geht durch den Punkt (0|b) auf der y-Achse und hat die Steigung m.

Die Gerade

- steigt,
wenn m > 0;

- fällt,
wenn m < 0;

- verläuft parallel zur x-Achse,
wenn m = 0

Der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse heißt Nullstelle.

Die Nullstelle hat die Koordinaten N(x|0).

Bestimmung der Funktionsgleichung mithilfe eines Punktes und b

Punkt 1: P1(X1|Y1) also P1(0|Y1) also P1(0|b)

Punkt 2: P2(X2|Y2)

1. Schritt:

Bestimme den x-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

x-Abstand = X2 - X1

= X2 - 0

= X2

Bestimme den y-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

y-Abstand = Y2 - Y1.

= Y2 - b

2. Schritt:

Bestimme die Steigung m.

       y-Abstand
m = --------------
       x-Abstand

3. Schritt:

Setze m und b in die allgemeine Form ein:

y = m x + b

Bestimmung der Funktionsgleichung mithilfe zweier Punkte

Punkt 1: P1(X1|Y1)

Punkt 2: P2(X2|Y2)

1. Schritt:

Bestimme die Steigung m.

Berechne den y-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

y-Abstand = Y2 - Y1.

Berechne den x-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

x-Abstand = X2 - X1.

       y-Abstand
m = -------------
       x-Abstand

        (Y2 - Y1)
m = -------------
        (X2 - X1)

2. Schritt:

Berechne b:

Setze m, und die Koordinaten des Punktes P1(X1|Y1) in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein:

Y1 = m X1 + b | -mX1

Y1 - mX1 = b

b = Y1 - m*X1

Du kannst die gleiche Rechnung natürlich auch mit P2(X2|Y2) durchführen.

3. Schritt:

Stelle die Funktionsgleichung auf:

y = m*x + b

Beispiel:

Punkt 1: P1(3|-2)

Punkt 2: P2(-5|4)

1. Schritt:

Bestimme die Steigung m.

Berechne den y-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

y-Abstand = Y2 - Y1.

y-Abstand = 4 - (-2) = 6

Berechne den x-Abstand zwischen den Punkten P1 und P2.

x-Abstand = X2 - X1

x-Abstand = -5 - 3 = -8

         6
m = -----
        -8

           3
m = - -----
           4

m = - 0,75

2. Schritt:

Berechne b:

Setze m = -0,75 und die Koordinaten des Punktes P1(3|-2) in die allgemeine Form der Funktionsgleichung ein:

y = m x + b | -mx

y - mx = b

b = y - mx

b = Y1 - m*X1

b = -2 - (-0,75) * 3

b = 0,25

3. Schritt:

Die Funktionsgleichung lautet also:

Y = -0,75 X + 0,25