Terme mit Variablen berechnen

Terme sind Rechenausdrcke, in denen Zahlen, Variablen und Rechenzeichen vorkommen.
Ersetzt man die Variablen durch Zahlen, lassen sich Termwerte berechnen.

Beispiel 1:

3x + 2y =
wenn x = 7 und y = 5 dann gilt:
37 + 25 =
 
21 + 10 =
    31


Beispiel 2:

-5a + 3b =
wenn a = -2 und b = -3 dann gilt:
-5 (-2) + 3 (-3) =
   
+10    +   (-9)   =
      +10 - 9        =
           1

Terme addieren und subtrahieren

Ein Term besteht mindestens aus Zahlfaktor (Koeffizient) und Variablen:

3x; 4y - 3c;
3z - 2a + 3a - 23;...

Der Malpunkt darf zwischen Zahlfaktor und Variablen weggelassen werden:

3x = 3x
3(7c - 5a) = 3(7c - 5a)

Die 'unsichtbare Eins' darf ebenfalls weggelassen werden:

1x = x; -1a = -a

Gleichartige Terme kann man addieren und subtrahieren, verschiedene nicht:

Beispiele:

a+a+a =
  3a

 2x + 3x =
(2 + 3)x =
     5x

-7a + 2a=
   -5a

6a - 4b = (kann man nicht zusammenfassen!)

Terme multiplizieren und dividieren

Ein Produkt aus Termen lsst sich vereinfachen, indem man

1. Die Zahlfaktoren multipliziert (dividiert).
2. Die Variablen multipliziert (dividiert).

Unterscheide:

xxx = x und x + x + x = 3x

Beachte: x x = x^5

3a 5x =
35ax =
15 ax

7a3a(-2)a =
73(-2)aaa =
-42a

2ab 3ba =
23aabb =
6ab =
6ab =

Verbindung der 4 Grundrechenarten

Beachte:
Punktrechnung vor Strichrechnung.

Beispiele:

3x + 5x3y + 2a =
3x + 15xy + 2a =
(mehr geht nicht)

5xy2x5 + 3x - 6z:3z =
     50xy + 3x - 2      =
 (mehr geht nicht)

Plus- und Minusklammern

Plusklammern:
+(a - b)
Plusklammern darfst du weglassen.

Beispiel:

3x +(-4y + 3a)=
3x   -4y + 3a

Minusklammern:
-(a + b)
Du kannst Minusklammern weglassen, wenn du alle Vorzeichen in der Klammer umdrehst.

Beispiel:

3x -(-4y + 3a)=
3x   +4y - 3a

Beachte:

-( 5x + 3z) = das Vorzeichen von 5x ist PLUS
-(+5x + 3z) =
-5x - 3z

 

Multiplikation einer Summe

Es gilt das Distributivgesetz:
a(b + c) = ab + ac

Multipliziere jedes Glied der Klammer mit dem Faktor.
Die Vorzeichen + und - werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt.

5(3x + 2y) =
53x + 5 2y =
15x + 10 y =
15x +10y

-2x(3a -4b) =
-2x3a -2x(-4b) =
-6ax + 8bx

Ausklammern von Summen

ab + ac = a(b + c)

Beim Ausklammern handelt es sich um die Umkehrung des Distributivgesetzes.
Ein gemeinsamer Faktor wird wird ausgeklammert.

Beispiel:

1)
4xy + 7xa = (gemeinsamer Faktor ist x)
x(4y + 7a)

2)
9az - 2ab = (gemeinsamer Faktor ist a)
a(9az - 2b)

3)
45ab - 36ab = (gemeinsamer Faktor ist 9ab)
9ab(5a - 4b) (ggT(45|36) = 9)

Multiplikation von Summen

(a + b)(c + d)= ac + ad + bc + bd

Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer.
"JEDER TANZT MIT JEDEM"
Die Vorzeichen + und - werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt.

Beispiele:

1)
(2a + 4b)(7b - 3c) =
2a7b + 2a( -3c) + 4b7b + 4b (-3c) =
14ab - 6ac + 28b - 12bc

2)
(-3x + 2y)(5a - 7b) =
-15ax + 21bx + 10ay - 14by

Binomische Formeln

1. (a + b) = a + 2ab + b
2. (a - b) = a - 2ab + b
3. (a + b)(a - b) = a - b

Die Binomischen Formeln musst du auswendig lernen!

(Klim + bim) = Klim + 2Klimbim + bim

Im Notfall kannst du sie natrlich berechnen, das kostet aber unntige Zeit.

Berechnung:

 (a + b) =
(a + b)(a + b) =                (Produktschreibweise)
a + ab + ab + b =          (Multiplizieren von Summen)
a + 2ab + b

Beispiele:

1)
(6z + 2y) =                     (1. Binomische Formel)
36z + 24yz + 4y

2)
(-3x + 5b) =                    (1. Binomische Formel)
9x -30bx + 25b

3)
(10a - 3b) =                      (2. B. F.)
100a - 60ab + 9b

4)
(3xa - 2xz) =                    (2. B. F.)
9xa - 12xaxz +4xz =
9xa - 12xaz +4xz =

5)
(9a + 5b)(9a - 5b) =            (3. B. F.)
81a - 25b

6)
(x3y - 2y)(x3y + 2y) =      (3. B. F.)
9xy - 4y

Terme mit Klammern und allen Rechenzeichen

Beachte die "Vorfahrtsregeln":

1. Was in Klammern steht muss zusammen gerechnet werden.
2. Potenzrechnung geht vor Punktrechnung.
3. Punktrechnung geht vor Strichrechnung.

Beachte die Vorzeichenregeln:

1.
(-3) + (-2) =
   -3 -2     =
     -5

Das Rechenzeichen + kann weggelassen werden.
Bei >gleichen< Vorzeichen werden die Betrge addiert

2.
(-3) - (-2) =
(-3) + (+2) = (Gegenzahl addieren)
   -3 +2     =
      -1

Bei ungleichen Vorzeichen werden die Betrge subtrahiert (groer Betrag - kleiner Betrag)

3.
(+)(+) = (+)
(-)(-) = (+)
(+)(-) = (-)
(-)(+) = (-)

Multiplikation von Faktoren mit gleichen Vorzeichen: Ergebnis hat das Vorzeichen +
Multiplikation von Faktoren mit ungleichen Vorzeichen: Ergebnis hat das Vorzeichen -

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