Umformungsregeln für Gleichungen (Äquivalenzumformungen)

Additions- und Subtraktionsregel:

Addiert oder subtrahiert man auf beidenSeiten einer Gleichung dieselbeZahl, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.

Die Gleichungen sind äquivalent.

Beispiel:

      x - 8 = 15 | + 8 (auf beiden Seiten +8)
x - 8 + 8 = 15 + 8 (Termumformung)
           x = 23 (Lösung ablesen)
          
L = { 23}

Probe:

  x - 8 = 15 (Lösung für x einsetzen)
23 - 8 =? 15
      
15 =! 15 (wahr)

Allgemein:

Eine Gleichung mit der Variablen x zu lösen bedeutet:
Suche Zahlen, die für x eingesetzt werden und die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.

Die Überprüfung erfolgt mit einer Probe.

Die Variable x ist zunächst ein beliebiges Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muss. Wird die Grundmenge nicht angegeben, so wird angenommen, dass sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist. Bei Textaufgaben ergibt sich die Grundmenge aus dem Sachverhalt: Ist nach dem Alter gefragt, kommen keine negativen Zahlen in Frage.

Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.

Beispiel: G = Q

y + 2 = 5
Bedeutung:
Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn y eine rationale Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl y, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung.

Die kurze Schreibweise dafür ist:

y = 3 oder L = {3}.

Beispiel: G = N

n + 1 = n

Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der Fall: die ''Behauptung'' ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer. L = { }.

Spezielle Lösungsmengen von Gleichungen

Beispiel 1: unendlich viele Lösungen

7x + 5x + 2 = 2x + 2 +10x
      12x + 2 = 12x + 2 | -2
           12x = 12x | -12x
              0 = 0
              L = Q
Die Lösungsmenge enthält alle rationalen Zahlen. Für x kann man ein beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung stimmt

Beispiel 2: Keine Lösung

2x + 9x +2 = 8x +4 +3x
     11x + 2 = 11x +4 | -11x
             2 = 4 (falsche Aussage)
             L = { } (leere Menge)
Es gibt keine rationale Zahl, die Lösung dieser Gleichung ist.
Für x kann man ein beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung stimmt nicht.

Multiplikations- und Divisionsregel:

Multipliziert (dividiert) man auf beidenSeiten einer Gleichung mit derselbenZahl (durch dieselbe Zahl) ungleich 0, so ändert sich die Lösungsmenge nicht.

Die Gleichungen sind äquivalent.

Beispiel:

     5x = 45 | : 5 (auf beiden Seiten :5)

5x : 5 = 45 : 5 (Termumformung)

       x = 9 (Lösung ablesen)

       L = { 9}

Probe:

  5·x = 15 (Lösung für x einsetzen)
5 · 9 =? 15
 
45   =!   45 (wahr)

Additions- und Subtraktionsregel:

Addiert oder subtrahiert man auf beidenSeiteneiner Gleichung denselben Term (2x), so ändert sich die Lösungsmenge nicht.

Die Gleichungen sind äquivalent.

Beispiel:

       5x = 2x + 24 | - 2x (Äquivalenzumformung)
5x - 2x = 2x + 24 - 2x (Termumformung)
  
     3x = 24 | : 3 (Äquivalenzumformung Regel 2)
  3x : 3 = 24 : 3
         x = 8
         L = { 8 } (Lösung ablesen)

Probe:

    5x = 2x + 24 (Lösung für x einsetzen)
 5 · 8 =? 2·8 + 24
    40 =! 40 (wahr)

Gleichungen der Form 'ax + b = cx + d'

Alle Gleichungen lassen sich mit Termumformungen auf diese Form zusammenfassen.

1. Vereinfache die Gleichungen mit Termumformungen so weit wie möglich.

2. Wende nacheinander die Äquivalenzumformungen an.

Beachte:

Die Äquivalenzumformung 'auf beiden Seiten dieselbe Zahl dividieren oder multiplizieren' darf erst zum Schluss durchgeführt werden!

Beispiel:
7x + 5 - 3x = 30 - 4x + 7 (Termumformung)
       4x + 5 = 37 - 4x | + 4x (Äquivalenzumformung)
        8x +5 = 37 | -5 (Äquivalenzumformung)
            8x = 32 | :8 (Äquivalenzumformung)
              x = 4
              L = { 4 }

Plus- und Minusklammern

Plusklammern:
+(a - b)
Plusklammern darfst du weglassen.

Beispiel:

3x +(-4y + 3a)=
3x    -4y + 3a

Minusklammern:

-(a + b)
Du kannst Minusklammern weglassen, wenn du alle Vorzeichen in der Klammer umdrehst.

Beispiel:

3x -(-4y + 3a)=
3x   +4y - 3a

Beachte:
-( 5x + 3z) = das Vorzeichen von 5x ist PLUS
-(+5x + 3z) =
-5x - 3z

Multiplikation einer Summe

Es gilt das Distributivgesetz:
a·(b + c) = a·b + a·c
Multipliziere jedes Glied der Klammer mit dem Faktor.
Die Vorzeichen + und - werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt.

Beispiele:

5·(3x + 2y) =
3x + 5· 2y =
15 · x + 10 · y =
15x +10y


-2x·(3a -4b) =
-2x·3a -2x·(-4b) =
-6ax + 8bx

Multiplikation von Summen

(a + b)·(c + d)= ac + ad + bc + bd
Multipliziere jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer.
"JEDER TANZT MIT JEDEM"
Die Vorzeichen + und - werden nach den Vorzeichenregeln gesetzt.

Beispiele:
1)
(2a + 4b)·(7b - 3c) =
2a·7b + 2a·( -3c) + 4b·7b + 4b· (-3c) =
14ab - 6ac + 28b² - 12bc

2)
(-3x + 2y)·(5a - 7b) =
-15ax + 21bx + 10ay - 14by


Binomische Formeln

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)·(a - b) = a² - b²

Die Binomischen Formeln musst du auswendig lernen!

(Klim + bim)² = Klim² + 2·Klim·bim + bim²

Im Notfall kannst du sie natürlich berechnen, das kostet aber unnötige Zeit.
Berechnung:
(a + b)² =
(a + b)·(a + b) = (Produktschreibweise)
a² + ab + ab + b² = (Multiplizieren von Summen)
a² + 2ab + b²

Beispiele:
1)
     (6z + 2y)² =             (1. Binomische Formel) 
36z² + 24yz + 4y²

2)
     (-3x + 5b)² =            (1. Binomische Formel)
9x² -30bx + 25b²

3)
        (10a - 3b)² =          (2. B. F.)
100a² - 60ab + 9b²

4)
         (3xa - 2xz)² =       (2. B. F.)
9x²a² - 12xaxz +4x²z² =
9x²a² - 12x²az +4x²z² =


5)
(9a + 5b)·(9a - 5b) =        (3. B. F.)
     81a² - 25b²

6)
(x·3y - 2y)·(x·3y + 2y) =   (3. B. F.)
        9x²y² - 4y²

Eine Gleichung mit der Variablen x zu lösen bedeutet:

Suche Zahlen, die für x eingesetzt werden und die Gleichung zu einer wahren Aussage macht. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.
Die Überprüfung erfolgt mit einer Probe.

Die Variable x ist zunächst ein beliebiges Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muss. Wird die Grundmenge nicht angegeben, so wird angenommen, dass sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist. Bei Textaufgaben ergibt sich die Grundmenge aus dem Sachverhalt: Ist nach dem Alter gefragt, kommen keine negativen Zahlen in Frage.

Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.

Beispiel: G = Q

y + 2 = 5
Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn y eine rationale Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl y, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung.
Die kurze Schreibweise dafür ist:
y = 3 oder L = {3}.

Beispiel: G = N

n + 1 = n

Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der Fall: Die ''Behauptung'' ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer. L = { }.

Spezielle Lösungsmengen von Gleichungen

Beispiel 1:
unendlich viele Lösungen
7x + 5x + 2 = 2x + 2 +10x
      12x + 2 = 12x + 2 | -2
           12x = 12x | -12x
              0 = 0
              L = Q
Die Lösungsmenge enthält alle rationalen Zahlen. Für x kann man ein beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung stimmt

Beispiel 2:
Keine Lösung
2x + 9x +2 = 8x +4 +3x
     11x + 2 = 11x +4 | -11x
             2 = 4 (falsche Aussage)
             L = { } (leere Menge)
Es gibt keine rationale Zahl, die Lösung dieser Gleichung ist.
Für x kann man eine beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung stimmt nicht.

Lösungsschritte für Textaufgaben

Beispiel:
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5. Addiert man zur kleineren Zahl 4 so erhält man das Doppelte der größeren Zahl.
1. Variablen festlegen (vorläufige Antwort):
   kleine Zahl: x
   große Zahl: x + 5


2. Gleichung aufstellen:
x + 4 = 2*(x + 5)

3. Gleichung lösen:
x = -6

4. Antwortsatz formulieren:
Die Zahlen sind -6 und -1.

5. Probe am Text:
1. -6 und -1 unterscheiden sich um 5.
2. -6 + 4 = 2*(-1)
         -2 =! -2

Aussage und Aussageformen

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.

Beispiele von Aussagen:

5 ist eine Primzahl. wahr
München hat weniger Einwohner als Kiel. falsch
1999 wurde Bayern München Deutscher Fußballmeister. wahr

Hier handelt es sich nicht um Aussagen:
Wie spät ist es? Frage
Nachts ist es kälter als draußen. Blödsinn
Eine Aussageform enthält mindestens eine Variable. Setzt man für die Variable Elemente einer Grundmenge ein, so entstehen Aussagen.

Beispiele von Aussageformen:

x + 3 = 9 G = Q
y ist Schüler der Klasse 7b. G = Schüler der IGS Hassee
Alle Elemente der Grundmenge, die die Aussageform in eine wahre Aussage umwandeln, bilden die Lösungsmenge L.
„x + 3 = 9“ hat als Lösungsmenge:
       L = { 6 }

„y ist Schüler der Klasse 7b“ hat als Lösungsmenge:
L = { Max, Helene, ... }

Ungleichungen

Für das Umformen von Ungleichungen gelten die gleichen Regeln wie für das Umformen von Gleichungen.
Ausnahme:
Multipliziert oder dividiert man die Ungleichung mit/durch eine negative Zahl, so muss man das Relationszeichen umdrehen.
Beispiel:

G = Z
-3x < 15
-3x < 15 | :(-3) (Relationszeichen umdrehen)
    x > -5
L = { x € Z | x > -5} oder
L = { -4; -3; -2; ... }

Beispiel:

Für einen Ausflug haben die 28 SchülerInnen der Klasse 7b 942,00 € gespart. Wie viel kann pro SchülerIn ausgegeben werden, wenn für weitere Vorhaben mindestens 200 € übrig bleiben sollen?

Rechnung:
28x + 200 < 942 | -200
         28x < 742 | :28
            x < 26,5
L = {x € Q | x < 26,5}


Antwort:
Es kann pro Schüler nicht mehr als 26,49 € ausgegeben werden.

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